第四十五章 微分（2 / 2）

“x，我们代表的是位置，比如说，假设我们在路上每隔一段距离，比如说十里路，就设置一个路标，上面写着这里的里程数，比如说，从出发点，0，然后是10、20、30这样，而在它们中间，当然可能也有我们之前讲到的那些类似于不是一个整数的，比如说根号2里。”“总之，这些都不管，那x的单位就是：里。”

“然后我们想象一下，当一个人在这么一段路上走的时候，他是不是每一个时间点，都对应着一个里数。”

“现如今我们再定义一个速度的概念，什么是速度，就是路程除以时间。”

“好比说：你们两位，现如今离家有三十里，然后回去的话，走路回去的话，要三天。”

“那么我们就说，你们回家的平均速度，就是三十里除以三天，每天走十里路。”

“现在我们再假设一下，我们要是不想知道得这么粗糙，我们要想知道的是，你们二人每一瞬间，不是一天的平均速度，而是每一个瞬间的速度，这个式子又要如何表示？”

“按照前面的例子，是不是就是，如图。”

“dx除以dt，在一滴滴的时间之内，走了一滴滴的路。然后单位是，按照上面单位，结果就变成了人的瞬时速度是里/时辰。”

“通过这个式子，我们是不是就可以求得，某个人在某一瞬间很短很短的时间之内，他的速度。”

“当然！自古以来，就有一个诡论，那就是假设把我们动的这个时间跟位置记录下来，画下来，而且我们假设它可以被画下来，那么，假如说每一瞬间，我们在画上都没有动过，那我们是怎么从一个地方移动到另一个地方的。”

“其实实际情况自然是，我们不可能在每一瞬间都没有动，我们还是会动的。”

“而接下来我们说的这个，就是为了解决这个问题，如下所示：”

图。

“这式子的意思就是，移动过的距离x(t)-x(a)，除以时间变化t-a，得到速度。”

“可这个式子还不够完美，因为……”

“我们要想知道，我们在很短很短的时间，我们的速度，虽然我们已经有了上面这个式子，可问题是，这个很短很短的时间到底是多少。”

“有人说，很短很短的时间是眨一下眼的功夫，也有人不同意，说还要比这个时间小千分之一，万分之一，那么，我们该如何定义这个很短很短的时间，才能够让所有的人都信服。”

“那我们就可以让这个式子当中的t=a，t=a的意思，就是说，我让t就是a，这样大家面对这个很短很短的时间，就不会说，t-a到底是不是就是已经很短很短了。”

“因为我们让t=a，那就已经是变得不可再短了，是也不是？”

“但是在数术上，如果让t=a，我们没有办法把这个式子算出来。”

“上面是零，下面是零，零除以零等于多少？可我们还是想让这个式子能被算出来。”

“所以，在这里，我们再次引入一个新的符号，来表示我们接下来要做的事。”

图。

“我们就用这个形式写出来，表示我们接下来要做的事。”

“而且，我们将这个过程，称之为微分。”

“至于前面我们说的面积求和，则是积分。”

“那么问题来了，这两个东西加起来，合称‘微积分’，接下来要怎么用。”

“我们还是刚刚的例子，计算瞬时速度，也就是在一段很短很短时间的速度，这个速度是通过路程除以时间，微分得来的。”

“微分所记录的是每一个很短很短的时间，人所走过时的速度。”

“现在我假设，之前积分的图，这就是人在很短很短时间的速度的变化的坐标图。”

“现在我要求，人在某一段时间之内，也就是由a到b，他移动了多少路程，该怎么求？”